Question

已知數列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首項為1，公差為1的等差數列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差為d的等差數列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差為d²的等差數列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）試寫出a₃₀關于d的關系式，并求a₃₀的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差為d³的等差數列，…，依此類推，把已知數列推廣為無窮數列．提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

分析：（1）根據原等差數列的首項和公差求出a₁₀，根據a₂₀的值，由a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差為d的等差數列，利用等差數列的性質列出關于d的方程，求出方程的解即可得到d的值；（2）由a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差為d²的等差數列，利用等差數列的性質表示出a₃₀是關于d的二次函數，根據d不等于0，利用二次函數即可求出a₃₀的取值范圍；（3）根據題意歸納出：當n≥1時，數列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數列，可以續(xù)寫已知數列，并利用類似（2）中的方法歸納出a_10（n+1）的取值范圍．

解答：解：（1）a₁₀=1+9=10．a₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，
當d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所給數列可推廣為無窮數列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數列，
當n≥1時，數列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數列．
研究的問題可以是：試寫出a_10（n+1）關于d的關系式，并求a_10（n+1）的取值范圍．
研究的結論可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），
依此類推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)，d=1

．
當d＞0時，a_10（n+1）的取值范圍為（10，+∞）等．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質解決實際問題，會根據特例總結歸納出一般性的規(guī)律，是一道中檔題．