Question

【題目】如圖，直三棱柱中，側(cè)面是正方形， 側(cè)面， ，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證： //平面；

（2）若，垂足為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）如圖，連結(jié)， 交于，連結(jié)，可證為的中位線(xiàn)，所以，因?yàn)?/span>面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的平面角為銳角，即可求得二面角的余弦值.

試題解析：

（1）如圖，連結(jié)， 交于，連結(jié)，由是正方形，易得為的中點(diǎn)，從而為的中位線(xiàn)，所以，因?yàn)?/span>面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 兩兩垂直，

如圖，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則， ， ， ， ，

則， ， ，

設(shè)， ，則由，

得，即得，

于是，所以，

又，所以，解得，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量是，則，即，

令，得.

又平面的一個(gè)法向量為，則，即，

令，得，

設(shè)二面角的平面角為，則，

由，面面，可知為銳角，

即二面角的余弦值為.