Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)為拋物線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線的斜率為，且與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若對(duì)任意，存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)在拋物線上，可求出拋物線的方程為，設(shè)，則由拋物線的定義可得，代入拋物線方程可解得，

橢圓的離心率，所以，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，可得橢圓的方程.

（2）設(shè)直線的方程為.聯(lián)立消元可得，

設(shè)，， ，根據(jù)韋達(dá)定理，由，得，因?yàn)榇说仁綄?duì)任意的都成立，所以，即.

由題意得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由點(diǎn)在拋物線上，得，解得.

所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)，

設(shè)，則由拋物線的定義可得，解得，

代入拋物線方程可得，解得，所以，

橢圓的離心率，所以，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為.

由，消元可得，

設(shè)，，則，，

而 ，由，得，

因?yàn)榇说仁綄?duì)任意的都成立，所以，即.

由題意得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故，即，解得.