Question

（1）|

a

|=3，|

b

|=4，且（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，求向量

a

與

b

的夾角＜

a

，

b

＞；
（2）設(shè)向量

OA

=（-1，-2），

OB

=（1，4），

OC

=（2，-4），在向量

OC

上是否存在點(diǎn)P，使得

PA

⊥

PB

，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：向量表示錯(cuò)誤：請(qǐng)給修改，謝謝．
（1）由（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，可得

a

2-

a

•

b

-6

b

2=9-3×4×cos＜

a

，

b

＞-6×16=-93，解得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，可得＜

a

，

b

＞的值．
（2）假設(shè)在向量

OC

上存在點(diǎn)P（2x，-4x），使得

PA

⊥

PB

，則由

PA

•

PB

=0，解得x的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵|

a

|=3，|

b

|=4，且（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，∴

a

2-

a

•

b

-6

b

2=9-3×4×cos＜

a

，

b

＞-6×16=-93，
解得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，再根據(jù)cos＜

a

b

＞∈[0°，180°]，∴＜

a

，

b

＞=60°．
（2）假設(shè)在向量

OC

上存在點(diǎn)P（2x，-4x），使得

PA

⊥

PB

，則由

PA

=（-1-x，-2+4x），

PB

=（1-2x 4+4x）．
 而且

PA

•

PB

=（-1-x）（1-2x）+（-2+4x）（4+4x）=0，解得x=

1

2

，或x=-

9

10

（舍去）．
故存在點(diǎn)P（1，-2）滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．