Question

已知橢圓C：M：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率e=，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用S_△OPQ=4，可得點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：
，解得…（3分）
又因?yàn)閍²=b²+c²，所以
所以橢圓的方程為…（6分）
（Ⅱ）依題意，直線OP的方程為y=x，…（7分）
因?yàn)镾_△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2，…（8分）
所以點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2的直線l上，
設(shè)l：y=x+m，則，解得m=±4  …（10分）
當(dāng)m=4時(shí)，由，
消元得41x²+200x＜0，即 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)．
當(dāng)m=-4時(shí)，由對(duì)稱性，同理也得滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)．…（13分）
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)Q，這樣的點(diǎn)有8個(gè)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．