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          已知橢圓C：M：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的離心率e=
          3
          5
          ，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為16
          （Ⅰ）求橢圓M的方程；
          （Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點），使得△OPQ的面積S△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）利用橢圓的離心率e=
          3
          5
          ，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
          （Ⅱ）利用S△OPQ=4，可得點Q在與直線OP平行且距離為2
          		2
          的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可求得結(jié)論．
          解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：
          2a+2c=16
          c
          a
          =
          3
          5
          ，解得
          a=5
          c=3
          …（3分）
          又因為a2=b2+c2，所以b=
          		a2-c2=4

          所以橢圓的方程為
          x2
          25
          +
          y2
          16
          =1          …（6分）
          （Ⅱ）依題意|OP|=2
          		2
          ，直線OP的方程為y=x，…（7分）
          因為S△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2
          		2
          ，…（8分）
          所以點Q在與直線OP平行且距離為2
          		2
          的直線l上，
          設(shè)l：y=x+m，則
          |m|
          		2
          =2
          		2
          ，解得m=±4  …（10分）
          當(dāng)m=4時，由
          y=x+4
          x2
          25
          +
          y2
          16
          ＜1
          ，
          消元得41x2+200x＜0，即-
          200
          41
          ＜x＜0           …（12分）
          又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，此時滿足條件的點Q有4個．
          當(dāng)m=-4時，由對稱性，同理也得滿足條件的點Q有4個．…（13分）
          綜上，存在滿足條件的點Q，這樣的點有8個．…（14分）
          點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的左頂點和右焦點分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為直線m，圓D：x2+y2-6y-4=0．
          （1）若點A在圓D上，且橢圓C的離心率為
          		3
          2
          ，求橢圓C的方程；
          （2）若直線m上存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓C的離心率的取值范圍；
          （3）若點P在（1）中的橢圓C上，且過點P可作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓x2+
          y2
          2
          =1          有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
          （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （2）當(dāng)橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的左右焦點F1、F2與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF1F2的面積最大值為1．
          （1）求橢圓C的方程；
          （2）設(shè)圓A：x2+y2=
          2
          3
          的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，求以坐標(biāo)原點O及P、Q三點為頂點的△OPQ的外接圓面積的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•茂名二模）已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0），一條直線λx-y-2λ=0（λ∈R）．所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個定點，且橢圓的離心率為
          1
          2

          （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （2）已知圓O：x2+y2=r2（b＜r＜a），若另一條直線與橢圓C只有一個公共點M，且直線與圓O相切于點N，求|MN|的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN，當(dāng)KPM•KPN=-
          1
          4
          時，則橢圓方程為（　　）
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案