Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為K_PM、K_PN，當(dāng)KPM•KPN=-

1

4

時(shí)，則橢圓方程為（　�。�

• A、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  2

  =1
• C、x2+

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  4

  +y2=1

Answer 1

分析：由長軸長易求a值，設(shè)P（x₀，y₀），直線l方程為y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），由KPM•KPN=-

1

4

可得一等式，再由P在橢圓上可得一等式，由兩式可消去y₀，由P為橢圓任意點(diǎn)可知該式與x₀無關(guān)，由此可求得b值．

解答：解：由長軸長為4得2a=4，解得a=2，
設(shè)P（x₀，y₀），直線l方程為y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
則K_PM=

y0-kx1

x0-x1

，K_PN=

y0+kx1

x0+x1

，
由KPM•KPN=-

1

4

得，

y0-kx1

x0-x1

•

y0+kx1

x0+x1

=-

1

4

，即

y02-k2x12

x02-x12

=-

1

4

，
所以4y02=（4k²+1）x12-x02①，
又P在橢圓上，所以

x02

4

+

y02

b2

=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b²-b2x02=（4k²+1）x12-x02，
所以4b²=（4k²+1）x12+（b²-1）x02，
因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與x₀無關(guān)，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查恒成立問題，解決本題的關(guān)鍵是正確理解“點(diǎn)P的任意性”，難度較大．