Question

【題目】已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為 ．
（1）求拋物線的方程；
（2）若拋物線與直線y=2x﹣5無公共點(diǎn)，試在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線y=2x﹣5的距離最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的方程為y2=2px，則 ，

消去y得

= ，

則 ，p2﹣4p﹣12=0，

∴p=﹣2，或p=6，

∴y2=﹣4x，或y2=12x

（2）解：解法一、顯然拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn) 為拋物線y2=﹣4x上的任意一點(diǎn)，

點(diǎn)P到直線y=2x﹣5的距離為d，

則

當(dāng)t=﹣1時(shí)，d取得最小值，

此時(shí) 為所求的點(diǎn)

解法二、顯然拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點(diǎn)，

設(shè)與直線y=2x﹣5平行且與拋物線y2=﹣4x相切的直線方程為y=2x+b，

切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．

由 ，

消去y并化簡(jiǎn)得：4x2+4（b+1）x+b2=0，

∵直線與拋物線相切，

∴△=16（b+1）2﹣16b2=0，

解得：

把 代入方程4x2+4（b+1）x+b2=0并解得： ，∴y=﹣1

故所求點(diǎn)為

【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為y2=2px，由 ，得 ，由拋物線被直線y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為 能求出拋物線方程．（2）法一、拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 為拋物線y2=﹣4x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線y=2x﹣5的距離為d，則 ，故當(dāng)t=﹣1時(shí)，d取得最小值． 法二、拋物線y2=﹣4x與直線y=2x﹣5無公共點(diǎn)，設(shè)與直線y=2x﹣5平行且與拋物線y2=﹣4x相切的直線方程為y=2x+b，
切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．