在長方體
中，
，
，
為
中點.（Ⅰ）證明：
；（Ⅱ）求
與平面
所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使得∥平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.
（Ⅰ）先證
平面
（Ⅱ）
（Ⅲ）的長.
解析試題分析：（Ⅰ）證明：連接
∵
是長方體，∴
平面
，又
平面 ∴
在長方形中，
∴
又
∴平面，
而
平面∴
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
，則
,
設(shè)平面的法向量為
，則
令
，則
,
所以 
與平面所成角的正弦值為
（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點
，使得∥平面.
設(shè)的坐標(biāo)為
，則
因為 ∥平面
所以 ，即， 
，解得，
所以 在棱上存在一點，使得∥平面,此時的長.
考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3， AD=1， E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：
（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G ⊥D F。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)
為正方形
的中心，四邊形
是平行四邊形，且平面
平面，若
.
(1)求證：
平面
.
(2)線段
上是否存在一點
，使
平面
？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形
（1）求證：
； （2）求證：
；
（3）設(shè)
為
中點，在
邊上找一點
，使
平面
,并求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐
中，底面
是邊長為2的正方形，
，且
，
為
中點.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的大��；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得點到平
面
的距離為
？若存在，確定點的位置；
若不存在，請說明理由.
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中，
底面
于
，
，
，點
是
的中點.
平面
；
與
所成的角為
，且
，
的大小. 
.證明：平面PAD⊥平面PDC.
中,側(cè)棱與底面垂直,
,
,點
分別為
和
的中點.
;
的正弦值.
的底面為等腰梯形，
∥
,
,垂足為
，
是四棱錐的高。
平面
；
,
60°,求四棱錐