Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A(4，-3)為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

(1)求向量的坐標；

(2)求圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；

(3)是否存在實數(shù)a,使拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，請說明理由；若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設=(u,v),則由

即得或

    因為=+=(u+4,v-3),

    所以v-3＞0,得v=8.故=(6，8).

(2)由=(10，5)，得B(10，5)，于是直線OB的方程為y=x.

    由條件可知圓的標準方程為(x-3)²+(y+1)²=10,

    得圓心(3，-1)，半徑為.

    設圓心(3，-1)關于直線OB的對稱點為(x,y),則由

    得

    故所求圓的方程為(x-1)²+(y-3)²=10.

(3)設P(x₁，y₁)、Q(x₂,y₂)為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，

    則有

    解之得

    即x₁、x₂為方程x²+x+=0的兩個相異實根，

    于是由Δ=-4·＞0,得a＞.

    故當a＞時，拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩點.