Question

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

Answer 1

(1)     （2）
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力

(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意，有 ①
由，得，
由，可得，代入①并整理得
由于，故.于是，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得消去并整理得 ②
由，及，
得.
整理得.而，于是，代入②，
整理得
由，故，因此.
所以.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上，有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220622159498.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，即  ③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.