Question

【題目】動點到定點的距離比它到直線的距離小1，設(shè)動點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于、兩個不同的點，過點、分別作曲線的切線，且二者相交于點.

（1）求曲線的方程；

（2）求證： ；

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意，條件可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離等于它到直線距離，即動點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即可求解拋物線的方程.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由得，可得直線和直線的方程，求的，即可證得.

試題解析：

（1）由已知，動點在直線上方，條件可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離等于它到直線距離

∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線故其方程為.

（2）證：設(shè)直線的方程為：

由得：

設(shè)， ，則，

由得： ，∴

∴直線的方程為： ①

直線的方程為： ②

①-②得： ，即

將代入①得：

∴故

∴，

∴