Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，左右焦點分別是F1，F2，以F1為圓心,以3為半徑的圓與以F2為圓心,以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y＝kx+m交橢圓E于A，B兩點．射線PO交橢圓E于點Q．

（i）求的值，

（ii）求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）（i）||＝2，（ii）18

【解析】

(1)由MF1+MF2＝2a＝3+1＝4以及,解方程組可得,由此可得橢圓C的方程;

(2)(i) 設(shè)P（x0，y0），||＝λ，可得Q（﹣λx0，﹣λy0）,將其代入橢圓的方程可得結(jié)果;

(ii) 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y＝kx+m代入橢圓E的方程,利用韋達定理可得|x1﹣x2|，利用S|m||x1﹣x2|可得 ,根據(jù)兩個判別式大于0,可得,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

（1）由題意可知，MF1+MF2＝2a＝3+1＝4，可得a＝2，

又，a2﹣c2＝b2，

可得c＝1，b，即有橢圓C的方程為1；

（2）由（1）知橢圓E的方程為1，

（i）設(shè)P（x0，y0），||＝λ，由題意可知，

Q（﹣λx0，﹣λy0），由于1，

又1，即（）＝1，

所以λ＝2，即||＝2；

（ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y＝kx+m代入橢圓E的方程，可得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，由△＞0，可得m2＜12+16k2，①

則有x1+x2，x1x2，

所以|x1﹣x2|，

由直線y＝kx+m與y軸交于（0，m），

則△AOB的面積為S|m||x1﹣x2||m|

＝2，設(shè)t，則S＝2，

將直線y＝kx+m代入橢圓C的方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

由△≥0可得m2≤3+4k2，②

由①②可得0＜t≤1，則S＝2在（0，1]遞增，即有t＝1取得最大值，

即有S≤6，即m2＝3+4k2時,取得最大值6，

由（i）知，△ABQ的面積為3S，

即△ABQ面積的最大值為18．