Question

（2013•東城區(qū)一模）已知向量

OA

，

AB

，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|

AB

|=k|

OA

|，且

AB

方向是沿

OA

的方向繞著A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則稱

OA

經(jīng)過一次（θ，k）變換得到

AB

．現(xiàn)有向量

OA

=（1，1）經(jīng)過一次（θ₁，k₁）變換后得到

AA1

，

AA1

經(jīng)過一次（θ₂，k₂）變換后得到

A1A2

，…，如此下去，

An-2An-1

經(jīng)過一次（θ_n，k_n）變換后得到

An-1An

．設(shè)

An-1An

=（x，y），θn=

1

2n-1

，kn=

1

cosθn

，則y-x等于（　　）

• A．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• B．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

• C．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• D．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得（θ₁，k₁）=（1，

1

cos1

），即當(dāng)n=1時(shí)，一次（θ₁，k₁）變換將

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將所得向量的長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)為原來的

1

cosθ1

倍得到向量

AA1

．因此當(dāng)

OA

=（1，1）時(shí)，運(yùn)用矩陣變換公式，算出

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），從而得到

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1），所以y-x=

2sin1

cos1

．接下來再對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)在n=1時(shí)的情況進(jìn)行計(jì)算，對(duì)照所得結(jié)果可得只有B項(xiàng)是正確的選項(xiàng)．

解答：解：根據(jù)題意，θ1=

1

21-1

=1，k1=

1

cosθ1

=

1

cos1

∴一次（θ₁，k₁）變換就是將向量

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，
再將長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的

1

cos1

倍，
即

AA1

由

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且|

AA1

|=

1

cos1

|

OA

|
設(shè)向量

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為

a

=（x'，y'）
則有

cos1 -sin1 sin1 cos1

•

1   1

=

x′   y′

，
∴

x′=cos1-sin1 y′=sin1+cos1

，即向量

OA

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，
得到向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），再將

a

的模長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的

1

cos1

倍，
得到

AA1

=

1

cos1

（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
因此當(dāng)n=1時(shí)，

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
即

x=1- sin1 cos1 y= sin1 cos1 +1

，由此可得y-x=

sin1

cos1

+1-（1-

sin1

cos1

）=

2sin1

cos1

對(duì)于A，當(dāng)n=1時(shí)

2sin[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2sin[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2sin1

sin1

=2，與計(jì)算結(jié)果不相等，故A不正確；
對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)

2sin[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2sin1

cos1

，與計(jì)算結(jié)果相等，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)

2cos[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2cos1

sin1

，與計(jì)算結(jié)果不相等，故C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)n=1時(shí)

2cos[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2cos1

cos1

=2，與計(jì)算結(jié)果不相等，故D不正確
綜上所述，可得只有B項(xiàng)符合題意
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮，求向量

OA

=（1，1）經(jīng)過n變換（θ_n，k_n）后得到的向量坐標(biāo)，著重考查了向量的線性運(yùn)算、用矩陣解決向量旋轉(zhuǎn)問題和數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬于中檔題．