Question

（2013•東城區(qū)一模）數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，若an=an（a≠0），則位于第10行的第8列的項(xiàng)等于

a⁸⁹

，a₂₀₁₃在圖中位于

第45行的第77列

．（填第幾行的第幾列）

Answer 1

分析：①由于每行的所有數(shù)的個(gè)數(shù)形成等差數(shù)列，故可得到前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得出答案；
②由①可知前k行所有a_i的個(gè)數(shù)為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．解出（k-1）²≤2013即可得出答案．

解答：解：①設(shè)每行的數(shù)的個(gè)數(shù)為數(shù)列{b_n}，則此數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
于是前9行所有a_n的個(gè)數(shù)為b₁+b₂+…+b₉=

9(1+2×9-1)

2

=81．
∴位于第10行的第8列的項(xiàng)等于a₈₁₊₈=a89=a89．
②由①可知：前k行所有a_i的個(gè)數(shù)為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．
由（k-1）²＜2013，解得k＜1+

2013

，
而44²＜2013＜45²，∴k＜1+44=45．
∴前44行的所有數(shù)a_i的個(gè)數(shù)為44²=1936．
而1936+77=2013，
∴a₂₀₁₃在圖中位于第45行的第77 列．
故答案分別為a⁸⁹，第45行的第77 列．

點(diǎn)評(píng)：正確理解每行的所有數(shù)的個(gè)數(shù)形成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前可知前k行所有a_i的個(gè)數(shù)為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²是解題的關(guān)鍵．