Question

【題目】函數(shù)f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列說法正確的是（ ）

A.當(dāng)a=1時，f(x)在(0，f(0))處的切線方程為2x－y+1=0

B.當(dāng)a=1時，f(x)存在唯一極小值點(diǎn)x0且－1＜f(x0)＜0

C.對任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零點(diǎn)

D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點(diǎn)

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

逐一驗(yàn)證選項(xiàng)，選項(xiàng)A，通過切點(diǎn)求切線，再通過點(diǎn)斜式寫出切線方程，選項(xiàng)B 通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷極值范圍，選項(xiàng)C、D，通過構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)與直線y＝a 的交點(diǎn)問題．

選項(xiàng)A，當(dāng)時，，，

所以，故切點(diǎn)為，，

所以切線斜率，

故直線方程為：，即切線方程為：， 選項(xiàng)A正確.

選項(xiàng)B，當(dāng)時，，，

恒成立，所以單調(diào)遞增，

又,

,所以，即，所以

所以存在，使得，即

則在上，，在上，，

所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.

所以存在唯一的極小值點(diǎn).

,則，，所以B正確.

對于選項(xiàng)C、D，，

令，即 ，所以, 則令,

,令,得

由函數(shù)的圖像性質(zhì)可知:

時，，單調(diào)遞減.

時，，單調(diào)遞增.

所以時，取得極小值，

即當(dāng)時取得極小值，

又,即

又因?yàn)樵?/span>上單調(diào)遞減，所以

所以時，取得極小值，

即當(dāng)時取得極大值，

又，即

所以

當(dāng)時，

所以當(dāng)，即時，f(x)在(－π，+∞)上無零點(diǎn)，所以C不正確.

當(dāng)，即時，與的圖象只有一個交點(diǎn)

即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD
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