Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+α（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

．
（I）求ω的值．
（II）如果f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，求α的值．

Answer 1

分析：（I）先用三角恒等式將函數(shù)f（x）表達(dá)式化簡(jiǎn)，再將最高點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出ω的值．
（II）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值表達(dá)式，令其值為

3

，即可解出參數(shù)的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+

3

2

+α
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

+α
依題意得2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

解之得ω=

1

2

（II）由（I）知f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+α
又當(dāng)x∈[-

π

3

，

5π

6

]時(shí)，x+

π

3

∈[0，

7π

6

]
故-

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，
從而，f（x）在[-

π

3

，

5π

6

]上取得最小值-

1

2

+

3

2

+α
因此，由題設(shè)知-

1

2

+

3

2

+α=

3

解得α=

3 +1

2

答：（I）ω=

1

2

；（II）α=

3 +1

2

點(diǎn)評(píng)：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先用性質(zhì)求參數(shù)的值，再由函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的最小值的參數(shù)表達(dá)式，建立關(guān)于參數(shù)的方程，求出相應(yīng)的參數(shù)．本題可以培養(yǎng)答題者運(yùn)用知識(shí)靈活轉(zhuǎn)化的能力．