Question

已知：(

1

2

+2x)n的二項(xiàng)展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79．
（1）求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于n的方程C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得其展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和，在（

1

2

+2x）¹²中，令x=1可得其展開式的系數(shù)之和；
（2）根據(jù)題意，假設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，T_k+1項(xiàng)的系數(shù)為r_k，則有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

，代入數(shù)據(jù)，解可得k=10，即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₁₁，計(jì)算可得T₁₁的值，即可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，(

1

2

+2x)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為T_r+1=2^r•C_n^r•（

1

2

）^n-r•x^r，
由其二項(xiàng)展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，則C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+

n(n+1)

2

=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
則其展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為2¹²=4096，
令x=1，可得（

1

2

+2）¹²=（

5

2

）¹²，即其展開式的系數(shù)之和（

5

2

）¹²，
（2）設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k-1 12 4k-1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)16896x¹⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題，容易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念．