Question

【題目】正方體ABCD﹣A'B'C'D'棱長為2，并且E，F分別是棱AA'，CC'的中點．

（Ⅰ）求證：平面BED'F⊥平面BB'D'D；

（Ⅱ）求直線A'B'與平面BED'F所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析　（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ））分別以直線DA，DC，DD′為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算平面BED′F的法向量為，平面BB′D′D的法向量為，計算得到證明.

（Ⅱ）計算，再計算，得到答案.

（Ⅰ）分別以直線DA，DC，DD′為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：

D（0，0，0），D′（0，0，2），E（2，0，1），B（2，2，0），

∴，，，

設平面BED′F的法向量為，則：∴

消去x得，y＝x，取x＝1，則得出平面BED′F的一個法向量為，

設平面BB′D′D的法向量為，則，∴

∴y＝﹣x，取x＝1，則得出平面BB′D′D的一個法向量為，

∵，∴，

∴平面BED'F⊥平面BB'D'D；

（Ⅱ）∵A′（2，0，2），B′（2，2，2），

∴，且由（Ⅰ）知平面BED'F的法向量，

∴，

∴直線A'B'與平面BED'F所成的角的正弦值為．