Question

已知定點(diǎn)A(0,－1)，點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；若曲線被軌跡包圍著，求實(shí)數(shù)的最小值.(2)已知、，動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿(mǎn)足，求的取值范圍．

Answer 1

(1)的最小值為 (2) 的取值范圍為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解借助于橢圓的定義得到結(jié)論。然后結(jié)合向量的關(guān)系式得到坐標(biāo)關(guān)系，然后利用，得到范圍。
（1）由題意得，∴
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而得到結(jié)論。而曲線化為，
則曲線是圓心在，半徑為1的圓。
，那么利用圖像法得到最值。
（2）設(shè)，由得：，
化簡(jiǎn)得，即 ，
而 
∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴，得到不等式，然后求解得到。
解：(1)由題意得，∴
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓. ………………………3分
設(shè)橢圓方程為，
則，
∴點(diǎn)的軌跡方程為 ………………5分
曲線化為，
則曲線是圓心在，半徑為1的圓。
而軌跡E：為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓短軸上的頂點(diǎn)為結(jié)合它們的圖像知：若曲線被軌跡E包圍著，則，
∴的最小值為 。………………………8分
(2)設(shè)，由得：，
化簡(jiǎn)得，即 ，
而 …………10分
∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴
∴，
∴，
∴的取值范圍為．……………1２分