Question

如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，PM⊥BB₁交AA₁于點(diǎn)M，PN⊥BB₁交CC₁于點(diǎn)N．
（1）求證：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意和三棱柱的性質(zhì)，證出 CC₁⊥平面PMN，再證 CC₁⊥MN．
（2）利用類比推理邊“對(duì)應(yīng)側(cè)面面積”得出結(jié)論，證明用到余弦定理平行四邊形的面積公式和題中的垂直關(guān)系．

解答：（1）證：由題意知，CC₁∥BB₁，PM⊥BB₁，PN⊥BB₁，
∴CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC₁⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC₁⊥MN；
（2）解：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα，
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．
∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角為∠MNP，
在△PMN中，PM²=PN²+MN²-2PN•MNcos∠MNP
∴PM²•Cc₁²=PN²•Cc₁²+MN²•Cc₁²-2（PN•Cc₁）•（MN•Cc₁）cos∠MNP，
∵SBCC1B1=PN•CC₁，SACC1A1=MN•CC₁，SABB1A1=PM•BB₁，
∴

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，還考查了類比推理，證明結(jié)論時(shí)利用余弦定理，加上適當(dāng)?shù)淖冃巫C出結(jié)論．