Question

【題目】已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)為,長軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于PQ兩點(diǎn),其中為直線的斜率.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,問:是否存在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實(shí)數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在,.的取值范圍是

【解析】

（1）根據(jù)題意直接計(jì)算出得到答案.

（2）設(shè)直線OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程組，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則有，得到，計(jì)算得到答案.

(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切.

這時(shí)只需證明坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值即可.

設(shè)直線OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

聯(lián)立方程組

①

以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,

,直線OQ的方程為:

在①式中以換t,得②

又由知:

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則有

又當(dāng)直線OP與軸重合時(shí),此時(shí)

由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.

直線與軸交點(diǎn)為,且點(diǎn)不可能在圓O內(nèi),又當(dāng)k=0時(shí),直線與定圓O切于點(diǎn),所以的取值范圍是