Question

【題目】設{an}是等差數列，數列{an}的前n項和為Sn ， {bn}是各項都為正數的等比數列，且a1=b1=1，a3+b2=7，S2+b2=6 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{anbn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比q＞0，∵a1=b1=1，a3+b2=7，S2+b2=6， ∴a3﹣（1+a2）=1，∴d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．b2=7﹣a3=7﹣5=2．∴q=2，bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）anbn=（2n﹣1）2n﹣1 ．
∴數列{anbn}的前n項和Sn=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1 ，
2Sn=2+3×22+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n ，
∴﹣Sn=1+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）×2n=1+2× ﹣（2n﹣1）×2n=（3﹣2n）×2n﹣3，
∴Sn=（2n﹣3）×2n+3
【解析】（I）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．（II）anbn=（2n﹣1）2n﹣1 ． 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．