Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=cosx+sinx，給出下列四個(gè)命題：①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

；②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；③存在?∈R，使函數(shù)f（x+?）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于(

3π

4

，0)對(duì)稱．其中正確命題的序號(hào)是

①③④

．

Answer 1

分析：利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)y=sinx+cosx為

2

sin（x+

π

4

），
確定函數(shù)的值域，判斷①的真假；
找出特殊值判斷②；
函數(shù)的對(duì)稱軸判斷③的真假；
將 (

3

4

π，0)代入函數(shù)解析式成立，說明④正確．

解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
①α∈(0，

π

2

)時(shí) y∈（1，

2

]，因?yàn)?

4

3

∈（1，

2

]，所以本選項(xiàng)為真命題；
②f（x+α）=f（x+3α）說明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，顯然本選項(xiàng)為假命題；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對(duì)稱軸，適當(dāng)平移即可滿足題意，本選項(xiàng)為真命題；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) (

3

4

π，0)對(duì)稱，當(dāng)x=

3π

4

時(shí)f（

3π

4

）=0，滿足題意，本選項(xiàng)為真命題，
則其中正確命題的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠充分利用已知條件，靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．