Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+

x+2

是“科比函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍                            （　　）

• A．（-

  9

  4

  ，0]
• B．（-

  9

  4

  ，-2]
• C．[-2，0]
• D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得到：

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

，即方程k+

x+2

=x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=x-k的圖象，結(jié)合圖象法可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=k+

x+2

是“科比函數(shù)”，且是增函數(shù)，
∴

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

此式表明：方程k+

x+2

=x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程

x+2

=x-k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
分別畫出左右兩邊函數(shù)：y=

x+2

和y=x-k的圖象，
當(dāng)直線y=x-k與曲線y=

x+2

相切時(shí)，

x+2

=x-k有唯一解，解得k=-

9

4

；
當(dāng)直線y=x-k與曲線上的點(diǎn)（-2，0）時(shí)，
解得k=-2；
結(jié)合圖象可得：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，
實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-

9

4

，-2]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．