Question

六名學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語兩個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練及考核．每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，補(bǔ)考不合格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練（即淘汰），若每個(gè)學(xué)生身體體能考核合格的概率是

1

2

，外語考核合格的概率是

2

3

，假設(shè)每一次考試是否合格互不影響．
①求某個(gè)學(xué)生不被淘汰的概率．
②求6名學(xué)生至多有兩名被淘汰的概率．
③假設(shè)某學(xué)生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì)，用ζ表示其參加補(bǔ)考的次數(shù)，求隨機(jī)變量ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：①正面：分別求出兩個(gè)項(xiàng)目都不補(bǔ)考能通過概率，兩個(gè)項(xiàng)目中有一個(gè)項(xiàng)目要補(bǔ)考才能通過的概率，兩個(gè)項(xiàng)目都要補(bǔ)考才能通過的概率，三個(gè)相加可求出某個(gè)學(xué)生不被淘汰的概率．
②6名學(xué)生至多有兩名被淘汰的概率有三種情形，沒有被淘汰，有一個(gè)被淘汰，有兩個(gè)被淘汰，求出三個(gè)概率和即可；
③ζ表示其參加補(bǔ)考的次數(shù)，取值可能為0，1，2，然后分別求出相應(yīng)的概率，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：①正面：兩個(gè)項(xiàng)目都不補(bǔ)考能通過概率：P₁=

1

2

×

2

3

=

1

3

兩個(gè)項(xiàng)目中有一個(gè)項(xiàng)目要補(bǔ)考才能通過的概率：P2=(1-

1

2

)×

1

2

×

2

3

+

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

5

18

，
兩個(gè)項(xiàng)目都要補(bǔ)考才能通過的概率：P3=(1-

1

2

)×

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

1

18

∴P=P1+P2+P3=

1

3

+

5

18

+

1

18

=

12

18

=

2

3

②P=

C

0 6

(

1

3

)0(

2

3

)6+

C

1 6

(

1

3

)1(

2

3

)5+

C

2 6

(

1

3

)2(

2

3

)4=

496

729

③P(ξ=0)=

1

2

×

2

3

=

1

3

P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

2

×

2

3

=

7

12

P(ξ=2)=(

1

2

)2×

1

3

×1=

1

12

ξ	0	1	2
P	1 3	7 12	1 12

Eξ=0×

1

3

+1×

7

12

+2×

1

12

=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望，以及相互獨(dú)立事件的概率，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．