在數(shù)列
中，
，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的
倍（
）.
（1）寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）
；（2）
，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.
解析試題分析：（1）根據(jù)條件中描述前
項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍
，可以得到相應(yīng)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
，結(jié)合，分別取
，
得
，
；（2）根據(jù)（1）中所求，可以猜測(cè)，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)當(dāng)
時(shí)，結(jié)論成立，則當(dāng)
時(shí)，根據(jù)（1）中得到的式子，令，可以求得
，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，從而得證.
（1）由已知
，分別取，
得
，；
∴數(shù)列的前5項(xiàng)是：
6分；
（2）由（1）中的分析可以猜想 8分，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)
時(shí)，猜想顯然成立 9分，
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)猜想成立，
即
10分，
那么由已知，得
，
即
.∴
，
即
，又由歸納假設(shè)，得
，
∴，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.
綜上①和②知，對(duì)一切，都有
成立 13分．
考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)學(xué)歸納法.
階梯計(jì)算系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題
蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以
表示第
幅圖的蜂巢總數(shù).則
=_____;=___________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足對(duì)任意的
，都有
且
.
（1）求
的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（3）設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，不等式
對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
數(shù)列
的前n項(xiàng)和記為
，點(diǎn)（n，）在曲線
（
）上
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)
，求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列
的首項(xiàng)
，前
項(xiàng)和為
，且
，
，
成等差數(shù)列，其中
.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列
滿足：
，記數(shù)列的前項(xiàng)和為
，求及數(shù)列
的最大項(xiàng).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)寫(xiě)出a2，a3的值(只寫(xiě)結(jié)果)，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝
＋
＋
＋…＋
，若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，不等式t2－2mt＋
>bn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
（其中
），區(qū)間
.
（1）求區(qū)間
的長(zhǎng)度（注：區(qū)間
的長(zhǎng)度定義為
）；
（2）把區(qū)間的長(zhǎng)度記作數(shù)列
，令
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝
·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1<cn..
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是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,向量
,
,且滿足
,則