Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB．
（1）設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立即可解出用k表示的A點(diǎn)的坐標(biāo)，再由條互相垂直的弦OA、OB這一關(guān)系，兩直線過同一點(diǎn)原點(diǎn)，斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系得出B的坐標(biāo)．
（2）由（1），M是AB的中點(diǎn)，故可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)M的以k為參數(shù)的參數(shù)方程，水運(yùn)參數(shù)k，即可得到所求的點(diǎn)M的軌跡的決不能方程．

解答：解：（1）∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0
∴設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0）
∴聯(lián)立方程

y=kx y2=2px

解得xA=

2p

k2

，yA=

2p

k

（4分）
以-

1

k

代上式中的k，解方程組

y=- 1 k x y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x=p( 1 k2 +k2) y=p( 1 k -k)

（10分）
消去參數(shù)k，得y²=px-2p²；即為M點(diǎn)軌跡的普通方程．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相關(guān)的知識，其中在第一小問中要注意根據(jù)兩直線垂直且過同一點(diǎn)這一關(guān)系，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，此一技巧大大簡化了計(jì)算，注意總結(jié)這一經(jīng)驗(yàn)且能在類似的題題中進(jìn)行推廣，其特征是過同一點(diǎn)，且兩直線的斜率之間有一個(gè)固定的數(shù)量關(guān)系，本題第二小問所得到的方程是參數(shù)方程，由參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程常用的方法是代入法，加減消元等，做題時(shí)要注意選擇合適的方法消去參數(shù)．直線與圓錐曲線這一類問題中正確轉(zhuǎn)化，充分利用等量關(guān)系是解題的重中之重．本本類型中的題轉(zhuǎn)化靈活，運(yùn)算量大，且比較抽象，易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．