Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為

 

．

Answer 1

分析：根據過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，作AM、BN垂直準線于點M、N，根據|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和拋物線的定義，可得∠NCB=30°，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=x，而x1+

p

2

=3，x2+

p

2

=1，且x1x2=

p2

4

，(3-

p

2

)(1-

p

2

)=

p2

4

?p=

3

2

，可求得p的值，即求得拋物線的方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作AM、BN垂直準線于點M、N，
則|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
設|BF|=x，則2x+x+3=6?x=1，
而x1+

p

2

=3，x2+

p

2

=1，且x1x2=

p2

4

，
∴(3-

p

2

)(1-

p

2

)=

p2

4

?p=

3

2

，
得y²=3x．
故答案為：y²=3x．

點評：此題是個中檔題．考查拋物線的定義以及待定系數法求拋物線的標準方程．體現了數形結合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算．