Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別為PD，PB的中點，平面MCN與PA交點為Q．
（Ⅰ）求PQ的長度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求點A到平面MCN的距離．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（Ⅰ）由題意以A為坐標原點，AD，AB，AP為x，y，z正半軸，
建立空間直角坐標系，
則有：A（0，0，0）、D(

2

，0，0)、B（0，2，0）、
C(

2

，1，0)、P（0，0，4）、M(

2

2

，0，2)、N（0，1，2）．
設Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在實數(shù)λ，μ，使得

CQ

=λ

CM

+μ

CN

，
即(-

2

，-1，a)=λ(-

2

2

，-1，2)+μ(-

2

，0，2)．
由

- 2 =- 2 2 λ- 2 μ -1=-λ

，得：

λ=1 μ= 1 2

．
于是a=2λ+2μ=3，|

PQ

|=1．
∴PQ的長度是1．…（5分）
（Ⅱ）設平面MCN的法向量

n1

=(x，y，1)，
由

n1 • CM =(x，y，1)•(- 2 2 ，-1，2)=- 2 2 x-y+2=0 n1 • CN =(x，y，1)•(- 2 ，0，2)=- 2 x+2=0

，
取x=

2

，得

n1

=(

2

，1，1)．
由題意

n2

=(0，0，1)為平面ABCD的法向量．
于是，cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

．
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值為

3

2

．…（10分）
（Ⅲ）設點A到平面MCN的距離為d，
∵

AN

=(0，1，2)，平面MCN的法向量

n1

=（

2

，1，1），
∴d=

| AN • n1 |

| n1 |

=

3

2

．
∴點A到平面MCN的距離為

3

2

．…（14分）