Question

【題目】如圖，菱形ABCD的中心為O,四邊形ODEF為矩形，平面ODEF平面ABCD，DE=DA=DB=2

（I）若G為DC的中點(diǎn)，求證：EG//平面BCF;

（II）若 ,求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析:（1）由平幾知識(shí)得四邊形為平行四邊形，所以,再由線面平行判定定理得平面,由三角形中位線性質(zhì)得, 再由線面平行判定定理得平面,最后根據(jù)面面平行判定定理得平面平面,即得EG//平面BCF;（2）利用空間向量求二面角,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組解出各面法向量,利用向量數(shù)量積求兩法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果

試題解析：（1）證明：連接，由條件為中點(diǎn)， ,又， 四邊形為平行四邊形， ,平面平面。

（2） 為菱形，所以，又平面平面，四邊形為矩形，所以平面,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，， 0），E(-1,0,2)

F（0，0，2），H（，，0）， D（-1，0，0）， 設(shè)是面DEG的一個(gè)法向量，

則即，取.

同理取平面OEH的一個(gè)法向量是,

所以, ∴二面角D—EH—O的余弦值為.