Question

已知定點(diǎn)，曲線C是使為定值的點(diǎn)的軌跡，曲線過點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與曲線交于，當(dāng)的面積取得最大值時，求直線的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交曲線的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）和；（3）.

【解析】

試題分析：（1）依題意并結(jié)合橢圓的定義，先判斷出曲線的軌跡是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓，從而得出橢圓中參數(shù)的值，由計(jì)算出參數(shù)的值，最后由計(jì)算出的取值即可得到曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得到，從而由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，再由弦長公式計(jì)算出，再計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，由公式計(jì)算出三角形的面積（含參數(shù)），結(jié)合基本不等式可確定面積最大時的值，從而可確定直線方程；（3）設(shè)，由角平分線可得=，化簡并代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，即可得出，然后根據(jù)，可確定的取值范圍.

試題解析：（1） 2分

曲線C為以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓

設(shè)其長半軸為,短半軸為,半焦距為，則，

曲線C的方程為 4分

（2）設(shè)直線的為代入橢圓方程，得

，計(jì)算并判斷得，

設(shè),得

到直線的距離，設(shè)，則

當(dāng)時，面積最大

的面積取得最大值時，直線l的方程為：

和 9分

（3）由題意可知：=,= 10分

設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：

m（， 12分

因?yàn)?/span>，所以， 13分

而，所以 14分

考點(diǎn)：1.軌跡問題；2.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程；3.直線與圓錐曲線的綜合問題.