Question

（2013•東至縣一模）已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)-sin(x+π)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象按向量

a

=（

π

6

，0）平移得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代人周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）利用平移規(guī)律，根據(jù)題意得出g（x）的解析式，由x的范圍得出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin（x+

π

2

）+sinx=

3

cosx+sinx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π，
則f（x）的最小正周期為2π；
（Ⅱ）∵將f（x）將f（x）的圖象按向量

a

=（

π

6

，0）平移，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=f（x-

π

6

）=2sin[（x-

π

6

）+

π

3

]=2sin（x+

π

6

），
∵x∈[0，π]時(shí)，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴當(dāng)x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，sin（x+

π

6

）=1，g（x）取得最大值2；當(dāng)x+

π

6

=

7π

6

，即x=π時(shí)，sin（x+

π

6

）=-

1

2

，g（x）取得最小值-1．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．