Question

（2013•東至縣一模）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，c=

3

asinC-ccosA
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面積為

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化簡，根據(jù)sinC不為0，得到一個關(guān)系式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可；
（2）由A的度數(shù)求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面積，利用面積公式及sinA的值，求出bc的值，記作①；由a與cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，把bc的值代入求出b+c的值，記作②，聯(lián)立①②即可求出b與c的值．

解答：解：（1）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡已知的等式得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵C為三角形的內(nèi)角，∴sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
則A=

π

3

；
（2）∵a=2，sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，△ABC的面積為

3

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，即bc=4①；
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
整理得：b+c=4②，
聯(lián)立①②解得：b=c=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．