Question

【題目】已知函數(shù)的圖象為不間斷的曲線，定義域為，規(guī)定:

①如果對于任意，都有，則稱函數(shù)是凹函數(shù).

②如果對于任意，都有，則稱函數(shù)是凸函數(shù).

（1）若函數(shù)(且)是凹函數(shù)，試寫出實數(shù)的取值范圍;(直接寫出結(jié)果，無需證明)；

（2）判斷函數(shù)是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，并加以證明；

（3）若對任意的且，，試證明存在，使.

Answer 1

【答案】（1）；（2）凸函數(shù)，證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合新定義，直接求解即可；

（2）利用作差比較法，根據(jù)新定義，直接判斷、證明即可；

（3）根據(jù)等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用零點存在原理直接證明即可.

（1）由函數(shù)圖象可知：；

（2）因為，故，

所以，則函數(shù)是凸函數(shù).

（3）設(shè)，

因為

，

又因為，

所以，所以在區(qū)間上有零點，

即存在，使.