Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．
 
(1)證明：A₁O⊥平面ABC；
(2)若E是線段A₁B上一點(diǎn)，且滿足VE－BCC₁＝·VABC－A₁B₁C₁，求A₁E的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：∵AA₁＝A₁C＝AC＝2，且O為AC中點(diǎn)，
∴A₁O⊥AC，又∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C∩底面ABC＝AC，A₁O?平面A₁AC，
∴A₁O⊥平面ABC.
(2)∵VE－BCC₁＝VABC－A₁B₁C₁＝VA₁－BCC₁，∴BE＝BA₁，即A₁E＝A₁B.
連接OB，在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，A₁O＝，BO＝1，故A₁B＝2，則A₁E的長(zhǎng)度為.