Question

【題目】如圖，直三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長均為2，為棱的中點 .

（1）證明：平面平面；

（2）是否存在平行于的動直線，分別與棱交于點，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出點到直線的距離；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)計算以及等腰三角形性質(zhì)得,根據(jù)線面垂直判定定理得平面，再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點坐標(biāo)，利用方程組解得平面與平面各自法向量，根據(jù)向量數(shù)量積以及法向量夾角與二面角關(guān)系列方程，解得坐標(biāo)，即得結(jié)果.

(1)設(shè)，因為直三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長均為2，為棱的中點，所以，因此,

因為平面，，所以平面，

因為平面所以平面平面；

（2）以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線，垂直于AB所在直線，AA1所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，

其中，即

設(shè)平面與平面法向量分別為

則由得，令，

由得，令，

因為平面與平面所成的銳二面角為，

所以，

即

因此點到直線的距離為.