【題目】已知集合
,設(shè)
整除
或整除
,令
表示集合
所含元素的個數(shù)．
（1）寫出
的值;
（2）當(dāng)
時,寫出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
（1）根據(jù)題意按
分類計數(shù):
即可求得答案;
（2）由（1）知
,所以當(dāng)
時,
的表達(dá)式要按
除的余數(shù)進(jìn)行分類,最利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,即可求得答案.
（1）
整除
或整除
,
故
（2） 當(dāng)時,
,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)
時,
,結(jié)論成立;
②假設(shè)
(
)時結(jié)論成立,那么
時,
在
的基礎(chǔ)上新增加的元素在
,
,
中產(chǎn)生,分以下情形討論:
1）若
,則
,
此時有
,結(jié)論成立;
2）若
,則
,此時有
,結(jié)論成立;
3）若
,則
,此時有
,結(jié)論成立;
4）若
,則
,此時有
,結(jié)論成立;
5）若
,則
,此時有
,結(jié)論成立;
6）若
,則
,此時有
,結(jié)論成立．
綜上所述,結(jié)論對滿足的自然數(shù)
均成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)
，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：
超過 | 不超過 | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？
附：
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手，該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案：方案①：規(guī)定每日底薪50元，快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元；方案②：規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成，從第45單開始，每完成一單提成5元.該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為
，
，
，
，
，
，
七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）隨機(jī)選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；
（2）若騎手甲、乙選擇了日工資方案①，丙、丁選擇了日工資方案②.現(xiàn)從上述4名騎手中隨機(jī)選取2人，求至少有1名騎手選擇方案①的概率；
（3）若從人均日收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于函數(shù)
，若存在正常數(shù)
，使得對任意的
，都有
成立，我們稱函數(shù)
為“同比不減函數(shù)”．
（1）求證：對任意正常數(shù)，
都不是“同比不減函數(shù)”；
（2）若函數(shù)
是“
同比不減函數(shù)”，求
的取值范圍；
（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)
為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C:
（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－
，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點N的坐標(biāo)為（3，2），點P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
為數(shù)列
的前
項和，若
（
為常數(shù)）對任意
恒成立.
（1）若
，求的值；
（2）若
，且
.
①求數(shù)列的通項公式；
②若數(shù)列
滿足
，且
，求證：數(shù)列為等比數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，傾斜角為
的直線
過點
.以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線與交于
，
兩點，且
，求傾斜角的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
是
上一點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設(shè)
是
分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點的對稱點，平行于
的直線
交
于異于
的兩點
．點
關(guān)于原點的對稱點為
．證明：直線
與
軸圍成的三角形是等腰三角形．
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