Question

已知橢圓的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為B，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為A（2，0），
∵橢圓的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)
∴a=2…（2分）
∵離心率，∴…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以橢圓C的方程為：…（6分）
（2）設(shè)直線
由，消去y可得…（8分）
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得…（9分）
又…（10分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀）
因?yàn)榫�段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，所以…（12分）
解得k=1或…（13分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/93740.png' />，所以k=1
因此所求直線…（14分）
分析：（1）利用橢圓的右頂點(diǎn)A為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，確定a的值，根據(jù)離心率，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，根據(jù)線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，即可求得直線l的方程．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．