Question

（2011•東城區(qū)模擬）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，離心率e=

1

2

，過左焦點(diǎn)F（-1，0）作直線l與橢圓交于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ分別與直線x=-4交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段MN為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)F．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率e=

1

2

，過左焦點(diǎn)F（-1，0），可求得 c=1，a=2，從而可求b=

3

，進(jìn)而可得橢圓方程；
（Ⅱ） 斜率存在時，設(shè)直線l方程為 y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消去y 整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．進(jìn)而可求M，N的坐標(biāo)，從而可證 

FM

•

FN

=0；斜率不存在時，同理可證 

FM

•

FN

=0，從而以線段MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F

解答：解：（Ⅰ）由已知 c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．--------------（5分）
證明：（Ⅱ） 設(shè)直線l方程為 y=k（x+1），
由  

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．-----（7分）
設(shè)M（-4，y_M），N（-4，y_N），則由A，P，M共線，得

yM-y1

-4-x1

=

y1

x1-2

，有 y_M=-

6y1

x1-2

．同理 y_N=-

6y2

x2-2

．
∴y_My_N=

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

36k2[x1x2+(x1+x2)+1]

x1x2-2(x1+x2)+4

．------（9分）

FM • FN =(-3，yM)•(-3，yN)=9+yMyN =9+ 36k2[x1x2+(x1+x2)+1] x1x2-2(x1+x2)+4 =9+ 36k2[ 4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1] 4k2-12 3+4k2 +2 8k2 3+4k2 +4 =9- 9×36k2 36k2 =0.

∴

FM

⊥

FN

，即FM⊥FN，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F；----（12分）

當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)M（-4，3），N（-4，-3）．則有

FM

•

FN

=(-3，3)•(-3，-3）=9-9=0，
∴

FM

⊥

FN

，即FM⊥FN，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．
綜上所述，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F．-----------（14分）

點(diǎn)評：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查向量與解析幾何的交匯，綜合性強(qiáng)．