Question

已知：2^x≤256且log₂^x≥

1

2

，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）=log₂ (

x

2

)•log 

2

 (

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用指數(shù)與對數(shù)不等式求出x的范圍，求出交集即可．
（2）通過x的范圍求出log₂x的范圍，化簡函數(shù)表達(dá)式，通過二次函數(shù)的最值求出函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）由2^x≤256得x≤8，log₂^x≥

1

2

得x≥

2

，∴

2

≤x≤8．
（2）由（1）

2

≤x≤8得

1

2

≤log2x≤3，
f（x）=log₂ (

x

2

)•log 

2

 (

x

2

)=（log₂x-log₂2）（log

2

x

-log

2

2）
∴f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

，
當(dāng)log₂x=

3

2

，f（x）_min=-

1

4

．
當(dāng)log₂x=3，f（x）_max=2．

點評：本題考查指數(shù)與對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．