【題目】已知定義在上的函數(shù)
滿足:對(duì)任意
都有
.
(1)求證:函數(shù)是奇函數(shù);
(2)如果當(dāng)時(shí),有
,試判斷
在
上的單調(diào)性,并用定義證明你的判斷;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)滿足不等式
的任意
恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2)函數(shù)在
上為增函數(shù),證明見解析(3)
【解析】
(1)先分析定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再賦值求,令
即可求證(2)先判斷
在
上為增函數(shù),再根據(jù)定義證明在
上是奇函數(shù),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)知
在
上為增函數(shù)(3)根據(jù)(2)可得不等式
的解,
在此范圍恒成立,分離參數(shù)即可求解.
(1)函數(shù)的定義域
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,令
,可得
,
所以,令
,則
,即
,所以函數(shù)為奇函數(shù).
(2)函數(shù)在
上為增函數(shù).
證明如下:
設(shè)且
,則
,
因?yàn)?/span>時(shí),有
,
所以,
故
即,
所以函數(shù)在
上是增函數(shù),
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在
上是增函數(shù),
故在
上為增函數(shù).
(3)因?yàn)?/span>,
所以,
因?yàn)?/span>在
上為增函數(shù),
所以,解得
.
即當(dāng)時(shí),
恒成立,
所以在
上恒成立,
而,
所以只需,
故的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:,
,
,
,
,
,
后得到如圖的頻率分
布直方圖.
(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;
(2)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人,試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù).
(3)若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>,
與
,
兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生,試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線:
(
為參數(shù))和圓
的極坐標(biāo)方程:
.
(1)分別求直線和圓
的普通方程并判斷直線
與圓
的位置關(guān)系;
(2)已知點(diǎn),若直線
與圓
相交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體中, AC⊥BC,四邊形ABED是正方形,平面ABED⊥平面ABC,點(diǎn)F,G,H分別為BD,EC,BE的中點(diǎn),求證:
(1) BC⊥平面ACD
(2)平面HGF∥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: (a>b>0)的離心率為
,焦距為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線l:y=k1x-交橢圓E于A,B兩點(diǎn),C是橢圓E上一點(diǎn),直線OC的斜率為k2,且k1k2=
.M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且|MC|∶|AB|=2∶3,⊙M的半徑為|MC|,OS,OT是⊙M的兩條切線,切點(diǎn)分別為S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位有車牌尾號(hào)為的汽車
和尾號(hào)為
的汽車
,兩車分屬于兩個(gè)獨(dú)立業(yè)務(wù)部分.對(duì)一段時(shí)間內(nèi)兩輛汽車的用車記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì),在非限行日,
車日出車頻率
,
車日出車頻率
.該地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:
車尾號(hào) |
|
|
|
|
|
限行日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
現(xiàn)將汽車日出車頻率理解為日出車概率,且,
兩車出車相互獨(dú)立.
(I)求該單位在星期一恰好出車一臺(tái)的概率.
(II)設(shè)表示該單位在星期一與星期二兩天的出車臺(tái)數(shù)之和,求
的分布列及其數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且AB的長(zhǎng)度為2,求直線l的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
,
,
,
,
為線段
的中點(diǎn),
是線段
上一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求證:
面
;
(2)當(dāng)的面積最小時(shí),求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,圓
,點(diǎn)
是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段
的中垂線與線段
交于點(diǎn)
.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)若直線與曲線
相交于
兩點(diǎn),且存在點(diǎn)
(其中
不共線),使得
被
軸平分,證明:直線
過(guò)定點(diǎn).
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