Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，且橢圓的短軸長(zhǎng)為2.

（1）球橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)分別與橢圓交于點(diǎn)和.

①求的值；

②設(shè)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

；

（1）由橢圓短軸長(zhǎng)為2，得b=1，再由離心率結(jié)合計(jì)算即可得到橢圓的方程;（2）① 由直線過右焦點(diǎn)，設(shè)出直線AB方程，將AB方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)AB, 由兩直線斜率乘積為，將弦長(zhǎng)AB中的斜率變?yōu)?/span>可得弦長(zhǎng)CD,相加即得結(jié)果;②由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M,N坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知MN中點(diǎn)T在x軸上，所以，整理后利用基本不等式即可得面積的最值.

（1） 由題設(shè)知：

解得

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①設(shè)的直線方程為，

聯(lián)立消元并整理得，

所以，，

于是，

同理，

于是.

②由①知，，，，

所以，，

所以的中點(diǎn)為，

于是，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以面積的最大值為.