Question

【題目】設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)．

（1）確定的值；

（2）若，函數(shù)，，求的最小值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）由題可知，，代入函數(shù)解析式即可求出的值；

（2）根據(jù)已知條件得，運(yùn)用換元法令，得函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出最小值；

（3）由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，

解：（1）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，

，得，，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，

．

（2）由（1）可知，，又

，即

或（舍去），,

，

令，在是增函數(shù)，得 ，

則,函數(shù)對(duì)稱軸

可知時(shí)，有最小值.

（3）存在

理由如下：，， ，

則對(duì)恒成立，

所以，

設(shè)

易證在上是減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)最小值，

即時(shí)，的最小值為，

所以，，

∵是正整數(shù)，

∴．