Question

【題目】已知函數(shù)， ， （其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（2）記函數(shù)，其中，若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意， ，且，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實數(shù)的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)存在兩個極值點條件可得實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉絕對值，再移項構(gòu)造函數(shù)： ， ，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式恒成立條件，解得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：（1）因為，所以，

因為在點處的切線與直線垂直，

所以，解得．

（2）因為，

所以，

因為，所以當(dāng)或時， ；當(dāng)時， ，

所以在區(qū)間和單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，

即當(dāng)時， 取極大值，當(dāng)時， 取極小值，

因為函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，所以．

（3）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以對任意的， ，且恒成立，等價于對任意的， ，且恒成立，等價于對任意的， ，且恒成立，

即對任意， ，且恒成立，

所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

在上是單調(diào)遞減函數(shù)，

由在上恒成立，

得在恒成立，即在恒成立，

而在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上取得最小值1，

所以，

由在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

令則，令，得，

因為在上遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在上取得最大值，即，

所以實數(shù)的取值范圍為