Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之和為，如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行與的直線(xiàn)l交橢圓于不同的兩點(diǎn)、．

（1）求橢圓方程；

（2）若的橫坐標(biāo)為，求面積的最大值；

（3）當(dāng)在第一象限時(shí)，直線(xiàn)，交x軸于，，若PE＝PF，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）面積的最大值為2（3）點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

（1）由題得，，解方程即得橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)為，先求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即得；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

根據(jù)得到，又，解方程組即得解.

（1）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，所以，即．

又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，

，所以橢圓方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)，，

的橫坐標(biāo)代入，解得的縱坐標(biāo)為，

所以直線(xiàn)的斜率為1，因?yàn)?/span>，

所以設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立，得，

，解得，

，，

所以，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

，

當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，

所以面積的最大值為2．

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，即

則，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，

整理得，

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以，

化簡(jiǎn)得，

把，代入上式，化簡(jiǎn)得，

∵，，所以，，因此點(diǎn)坐標(biāo)為．