Question

【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線，上分別取點(diǎn)，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.

（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；

（2）若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時，最大面積為（平方千米）；

（2）四邊形面積的最大值為（平方千米）.

【解析】

（1）設(shè)，，由余弦定理得：，

因?yàn)?/span>，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；

（2）要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出點(diǎn)到距離的最大值即可得到最大面積.

（1）設(shè)，，（單位：千米）

在中，由余弦定理得：，

因?yàn)?/span>，，，，

所以，，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，

此時，（平方千米）.

所以，當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時，的面積最大，最大面積為（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.

在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），

以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)所在的橢圓方程為，焦距為，

由，得：，

所以點(diǎn)所在的橢圓方程為.

設(shè)，則，因?yàn)?/span>，

所以（平方千米），當(dāng)且僅當(dāng)（千米）時取得等號.

所以，四邊形面積的最大值為（平方千米）.