Question

【題目】如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“阿當數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當數(shù)列”，且，，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項為1的等差數(shù)列為“阿當數(shù)列”，且其前項和滿足？若存在，請求出的通項公式；若不存在，請說明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，且為“阿當數(shù)列”，，，當數(shù)列不是“阿當數(shù)列”時，試判斷數(shù)列是否為“阿當數(shù)列”，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見詳解；（3）見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，求解即可得出結(jié)果；

（2）先假設(shè)存在等差數(shù)列為“阿當數(shù)列”，設(shè)公差為，則，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合題中條件，得到，即對任意都成立，判斷出，推出矛盾，即可得出結(jié)果；

（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)為“阿當數(shù)列”，推出在數(shù)列中，為最小項；在數(shù)列中，為最小項；得到，，再由數(shù)列每一項均為正整數(shù)，得到，或，；分別討論，和，兩種情況，結(jié)合數(shù)列的增減性，即可得出結(jié)果.

（1）由題意可得：，，

即，解得或；

所以實數(shù)的取值范圍是；

（2）假設(shè)存在等差數(shù)列為“阿當數(shù)列”，設(shè)公差為，則，

由可得：，

又，所以對任意都成立，

即對任意都成立，

因為，且，所以，與矛盾，

因此，不存在等差數(shù)列為“阿當數(shù)列”；

（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且每一項均為正整數(shù)，

因為為“阿當數(shù)列”，所以，

所以，；因為，

即在數(shù)列中，為最小項；

同理，在數(shù)列中，為最小項；

由為“阿當數(shù)列”，只需，即，

又因為數(shù)列不是“阿當數(shù)列”，所以，即，

由數(shù)列每一項均為正整數(shù)，可得：，所以，或，；

當，時，，則，

令，則，

所以，

即數(shù)列為遞增數(shù)列，

所以，

因為，所以對任意，都有，

即數(shù)列是“阿當數(shù)列”；

當，時，，則，

顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，

故數(shù)列不是“阿當數(shù)列”；

綜上，當時，數(shù)列是“阿當數(shù)列”；當時，數(shù)列不是“阿當數(shù)列”.