Question

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁是底面邊長(zhǎng)為2的正三角形,頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁與AB的夾角是45°.

（1）求證：AA₁⊥平面A₁BC；

（2）求此棱柱的側(cè)面積.

Answer 1

（1）證明:∵點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心，

∴A₁—ABC為正三棱錐，AA₁=A₁B=A₁C.

又∠A₁AB=45°，

∴∠AA₁B=∠AA₁C=90°，即AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C.

又A₁B∩A₁C=A₁，

∴AA₁⊥平面A₁BC.

（2）解析:連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，

∵O是正△ABC的中心，

∴AD⊥BC.

又AO是AA₁在底面ABC上的射影，

∴AA₁⊥BC〔由（1）知〕.

∵BB₁∥AA₁，

∴BB₁⊥BC.

∴BCC₁B₁是矩形.

在Rt△AA₁B中，AA₁=A₁B==BB₁，又BC=2，

∴=2=2，.

∴S_側(cè)=2+.

小結(jié)：求斜棱柱的側(cè)面積，可以求出每個(gè)側(cè)面的面積相加，也可以求出直截面的周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)計(jì)算其乘積.