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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知拋物線C1:y2=2px(p>0)與雙曲線C2 =1(a>0.b>0)有公共焦點F,且在第一象限的交點為P(3,2 ).
          (1)求拋物線C1 , 雙曲線C2的方程;
          (2)過點F且互相垂直的兩動直線被拋物線C1截得的弦分別為AB,CD,弦AB、CD的中點分別為G、H,探究直線GH是否過定點,若GH過定點,求出定點坐標;若直線GH不過定點,說明理由.

          【答案】
          (1)解:P(3,2 )代入拋物線C1:y2=2px(p>0),可得p=4,∴拋物線C1:y2=8x;

          焦點F(2,0),則 ,∴a=1,b= ,∴雙曲線C2的方程 =1


          (2)解:設點A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4

          把直線AB:y=k(x﹣2)代入y2=8x,得:

          k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,∴x3=2+ ,y3=k(x3﹣2)= ,

          同理可得,x4=2+4k2,y4=﹣4k,

          ∴kGH=

          ∴直線GH為y﹣ = (x﹣2﹣ ),即y= (x﹣3),過定點P(3,0)


          【解析】(1)P(3,2 )代入拋物線C1:y2=2px(p>0),可得p,求出拋物線方程.焦點F(2,0),則 ,求出a,b,可得雙曲線C2的方程;(2)欲證明直線GH過定點,只需求出含參數的直線GH的方程,觀察是否過定點即可.設出A,B,G,H的坐標,用A,B坐標表示G,H坐標,求出直線GH方程,化為點斜式,可以發(fā)現(xiàn)直線必過點(3,0).

          練習冊系列答案
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          (1)作出這20名工人年齡的莖葉圖;
          (2)求這20名工人年齡的眾數和極差;
          (3)執(zhí)行如圖所示的算法流程圖(其中 是這20名工人年齡的平均數),求輸出的S值.

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          B.2n﹣1
          C.4n﹣2
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